Jedes Robotergelenk nimmt zwei Lasten auf, nicht nur eine. Die erste ist das Drehmoment um die eigene Achse. Dafür gibt es einen Datenblattwert, eine Kurve im Katalog und eine Zeile in jeder Auslegungs-Tabelle. Die zweite ist das Biegemoment quer zu dieser Achse, verursacht durch eine am Ende eines Arms hängende Nutzlast. Dafür gibt es meist überhaupt keinen Wert. Bei humanoiden Sprunggelenken übersteigt es jedoch regelmäßig das Nenndrehmoment des Gelenks und wirkt ausgerechnet auf das Bauteil der Baugruppe, das nie dafür ausgelegt wurde, es aufzunehmen: das Getriebe.

Das Ergebnis ist eine Gelenkklasse, die jede Drehmomentberechnung besteht, auf dem Prüfstand die Position perfekt hält und im Einsatz innerhalb einer Saison ausfällt. Nicht, weil das Untersetzungsgetriebe für das Drehmoment zu klein dimensioniert war, sondern weil niemand den zweiten Lastpfad eingezeichnet hat.

Zwei Lasten, ein Datenblatt

Beginnen wir mit der Geometrie, denn sie ist das Kernstück der Argumentation. Ein Gelenk überträgt Drehmoment um seine Achse. Ein daran befestigter Arm, der in einem bestimmten Abstand eine Masse trägt, übt eine Kraft aus, deren Wirkungslinie gegenüber der Achse versetzt ist. Dieser Versatz wandelt die Kraft in ein Moment um:

M = F × L

Dabei ist F die Kraft am Befestigungspunkt und L der senkrechte Abstand zwischen der Gelenkachse und der Wirkungslinie. Drehmoment und Moment werden beide in Newtonmetern angegeben. Genau deshalb werden sie oft verwechselt. Es handelt sich jedoch nicht um dieselbe Größe. Das Drehmoment wird von den Getriebezähnen aufgenommen. Das Moment wird von der Struktur aufgenommen, die den Abtriebsflansch rechtwinklig zum Gehäuse hält – und wenn es keine solche Struktur gibt, müssen auch die Getriebezähne das Moment aufnehmen, und zwar in einer Richtung, der sie nicht standhalten können.

Bei einem humanoiden Roboter sind die Werte keineswegs unerheblich. Betrachten wir eine 70 kg schwere Maschine mit einem Gewicht von rund 690 N und einem Sprunggelenk, dessen Druckmittelpunkt bei einem normalen Schritt 80 bis 100 mm vor der Gelenkachse liegt:

Sehen Sie sich die Zeilen zum Sprunggelenk noch einmal an. Ein Gelenk mit einem Nenndrehmoment von 40 N·m im Dauerbetrieb – ein durchaus plausibler Wert für ein humanoides Sprunggelenk – ist bei einer harten Landung einem Biegemoment von rund 200 N·m ausgesetzt. Das Moment beträgt das Fünffache des Nenndrehmoments und ist kein Missbrauchsfall. Es ist der Auslegungsfall.

Hier führen Gelenkspezifikationen erstmals in die Irre. Ein Modul kann ehrlich mit 40 N·m Dauer- und 120 N·m Spitzendrehmoment angegeben sein und für ein Sprunggelenk trotzdem strukturell grenzwertig ausgelegt sein, denn keiner dieser Werte beschreibt seine Fähigkeit, ein Moment aufzunehmen. Diese fehlende Spezifikation ist kein Versäumnis des Marketings. Sie fehlt, weil das Moment das Getriebe überhaupt nicht erreichen sollte.

Was ein Moment im Gelenk tatsächlich bewirkt

Verfolgen wir die Last vom Fuß aufwärts. Die Bodenreaktionskraft wirkt auf die Fußplatte, wird durch das Sprunggelenkgehäuse geleitet und erreicht das Gelenk als Kraft, die in einem gewissen Abstand von der Achse angreift. Im Gelenk wirkt diese Kraft auf den Abtriebsflansch.

Bei einem Wellgetriebe ist der Abtriebsflansch mit der Flexspline verschraubt – einem dünnwandigen Legierungsbecher, in dessen offenem Ende Zähne eingefräst sind. Er ist konstruktionsbedingt radial nachgiebig; diese Nachgiebigkeit ist Teil des Funktionsprinzips. Torsionssteif ist er, weshalb er als Abtrieb funktioniert. Als tragendes Biegebauteil taugt er jedoch in keiner Weise. Wird er mit einem Moment belastet, verformt sich der Becher asymmetrisch oval, die Zahneingriffszone verschiebt sich von der großen Achse weg und die Kontaktpressung konzentriert sich auf einen Teil der Zähne, die eigentlich gemeinsam die Last tragen sollten.

Die Ausfallfolge ist so regelmäßig, dass sie vorhersehbar ist:

1. Der Zahnkontakt verschiebt sich. Der normalerweise symmetrisch um die große Achse liegende Eingriffsbereich wandert zur belasteten Seite. Die lokale Kontaktspannung steigt schneller als das angelegte Moment, da gleichzeitig die tragende Fläche kleiner wird.
2. Überspringen der Zähne. Wird ein Schwellenwert überschritten, überspringen die Zähne einander, statt ineinanderzugreifen. In den Katalogen für Komponentensätze wird dieser Schwellenwert mit ungefähr dem Acht- bis Neunfachen des Nenndrehmoments angegeben – ein allgemeiner Wert, der sich mit der Baugröße ändert – und als Drehmoment am Abtrieb. Ein Moment erzeugt eine äquivalente Zahnlast wesentlich effizienter, als Konstrukteure erwarten.
3. Verformung des Flansches und Verlust der Konzentrizität. Die Flexspline läuft nicht mehr konzentrisch zur Circular Spline. Wo zuvor kein Spiel vorhanden war, entsteht Flankenspiel. Es nimmt allmählich zu, was schlimmer ist als ein Fertigungsspiel, denn es wächst weiter.
4. Ermüdung am Becherfuß. Risse entstehen an den Zahnfüßen oder an der Spannungskonzentration nahe dem Flansch – genau dort, wo ein dünnwandiger Becher unter wechselnder Biegebeanspruchung reißen würde.
5. Knicken. Beim 16- bis 17-Fachen des Nenndrehmoments kann sich der Becher bei festgehaltenem Eingang plastisch verformen. Das ist kein Verschleißmechanismus, sondern die Folge eines einzigen Ereignisses.

Im praktischen Einsatz äußert sich das durch ein Gelenk, das innerhalb weniger Monate Spiel entwickelt, laut wird und dann an Genauigkeit verliert – und dem Untersetzungsgetriebe wird eine Last angelastet, der es nie hätte ausgesetzt werden dürfen. Das Getriebe ist nicht ausgefallen, weil es zu schwach war. Es ist ausgefallen, weil es das einzige ausreichend steife Bauteil der Baugruppe war, das dem Moment widerstehen konnte – und deshalb hat es die Last aufgenommen.

Warum der Lagerabstand wichtiger ist als die Größe

Die Lösung ist strukturell und fast peinlich einfach: Zwischen Abtriebsflansch und Gehäuse werden zwei Lager mit axialem Abstand angeordnet, sodass das Moment als Kräftepaar und nicht über das Getriebe aufgenommen wird.

Es lohnt sich, die Statik aufzuschreiben, denn sie erklärt alle daraus folgenden Konstruktionsentscheidungen. Wird das Moment M von zwei Lagern mit einem Abstand s aufgenommen, beträgt die Reaktionskraft an jedem Lager ungefähr:

F = M / s

Für das Sprunggelenk mit M = 206 N·m gilt:

Daraus ergeben sich unmittelbar zwei Schlussfolgerungen. Erstens darf das Untersetzungsgetriebe nicht Teil dieses Lastpfads sein: Ein Lagerabstand von 40 mm, der eine Flexspline-Flanschkonstruktion mit 5 kN belastet, ist keine Konstruktion, sondern ein Countdown. Zweitens ist ein größerer Lagerabstand günstiger als größere Lager. Ein Lagerpaar mit 80 mm Abstand nimmt dasselbe Moment mit der halben Reaktionskraft eines Lagerpaars mit 40 mm Abstand auf, und die Reaktionskraft bestimmt die Lagerlebensdauer.

Die Steifigkeit skaliert sogar noch günstiger. Bei zwei Lagern mit jeweils der axialen Steifigkeit k, einem Abstand s, starren Flanschen und gleicher Steifigkeit beider Lager steigt die Kippsteifigkeit des Lagerpaars ungefähr mit dem Quadrat des Abstands:

K ≈ k · s² / 2

Verdoppeln Sie den Abstand, erhalten Sie die vierfache Kippsteifigkeit – auf Kosten von Baulänge und Masse. Deshalb ähnelt das Abtriebsende eines gut ausgelegten Gelenks einem kurzen, breiten Zylinder mit einem großen Lager an jedem Ende, während das Getriebe in der Mitte des Gehäuses sitzt und nur die Aufgabe erfüllt, für die es ausgelegt wurde.

Dieser Kompromiss ist real und nicht kostenlos. Jeder Millimeter zusätzlicher Lagerabstand verschiebt die Masse des Gelenks weiter vom Körper weg und erhöht damit die auf den bewegten Arm reflektierte Trägheit. Bei einem distalen Gelenk fällt dieser Nachteil doppelt ins Gewicht: einmal durch die Eigenmasse des Aktors und ein zweites Mal durch das Drehmoment, das die proximalen Gelenke zum Bewegen des Arms aufbringen müssen. Ein größerer Lagerabstand ist im Vergleich zu größeren Lagern günstig, aber nicht kostenlos.

Kreuzrollenlager oder ein Paar Schrägkugellager

Sobald das Moment einen eigenen Lastpfad hat, stellt sich die Frage, welche Lager diesen bilden. Zwei Bauarten sind weit verbreitet. Die Wahl ist ein echter Kompromiss und keine Rangfolge.

Der Kreuzrollenkranz bietet die höchste Steifigkeit pro Millimeter und ist meist ausschlaggebend bei Gelenken, deren Abtriebslager zugleich die strukturelle Schnittstelle zwischen zwei Armen bildet. Seine Schwäche ist nicht mechanischer, sondern prozesstechnischer Art: Die Steifigkeit des Rings hängt von der Fläche ab, auf der er verschraubt ist. Ist eine Gehäusefläche nur auf 0,02 mm statt auf 0,01 mm eben, entsteht eine ungleichmäßige Vorspannung. Dadurch wird das Moment von einem Teil der Rollen aufgenommen, während die übrigen unbelastet bleiben. Das Lager fällt dann vorzeitig aus, und im Untersuchungsbericht heißt es „Lagerschaden“, obwohl der eigentliche Fehler in der Vorrichtung lag, mit der das Gehäuse bearbeitet wurde.

Die Anordnung mit zwei Schrägkugellagern ist fertigungstoleranter und für höhere Drehzahlen besser geeignet. Bei einem schnell rotierenden Gelenk – etwa einem Handgelenk an einem Hochdurchsatzarm oder einer spindelnahen Achse – kann dieser Vorteil den Nachteil der größeren Breite aufwiegen. Außerdem lässt sich die Vorspannung nach der Montage einstellen. Das ist wichtig, wenn Gehäuse und Lager aus Werkstoffen mit unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten bestehen.

Die Vorspannung ist eine Systementscheidung, kein nachträgliches Extra. Eine geringe Vorspannung hält das Reibmoment niedrig, erhält die Rücktreibbarkeit und sorgt dafür, dass ein kraftgeregeltes Gelenk zuverlässig reagiert. Eine hohe Vorspannung maximiert die Steifigkeit unter Momentbelastung, erhöht aber die Reibung, die der Drehmomentregelkreis überwinden muss. Eine temperaturabhängige Reibung ist problematischer als eine lediglich hohe Reibung.

Die Steifigkeitskette und die nicht einkalkulierte Durchbiegung

Hier wird die Momentbelastung von einer Frage der Lebensdauer zu einer Frage der Genauigkeit.

Die Winkelauslenkung eines Gelenks unter Moment ist θ = M / K, wobei K die Kippsteifigkeit des gesamten Lastpfads bezeichnet – also von Lager, Gehäuse, Flansch und der Schraubverbindung zwischen diesen Bauteilen. Diese Auslenkung ist kein Spiel. Sie bildet sich nicht sauber zurück, hängt von der Last ab und liegt hinter dem Encoder.

Betrachten wir ein Gelenk mit einer Kippsteifigkeit von 2 × 10⁵ N·m/rad – einer passenden Größenordnung für ein Abtriebslager mittlerer Größe, wobei die vollständige Kette einschließlich des verschraubten Flansches eine geringere Steifigkeit aufweist. Es trägt die durch eine 20 kg schwere Nutzlast an einem 1,2 m langen Hebel erzeugten 235 N·m:

• θ = 235 / (2 × 10⁵) = 1,18 × 10⁻³ rad ≈ 0,067° ≈ 4 Bogenminuten
• Bei einem Hebel von 1,2 m entspricht das einer Werkzeugauslenkung von 1,4 mm

Vergleichen wir das nun mit dem üblicherweise für das Gelenk angegebenen Wert: dem in Bogenminuten gemessenen Flankenspiel, das typischerweise um eine Größenordnung kleiner ist. Laut Datenblatt ist das Gelenk auf wenige Bogenminuten genau. Unter Last ist es das nicht. Das Lager verformt sich stärker, als das Getriebe Spiel aufweist, und daran kann auch eine höhere Getriebequalität nichts ändern.

Dieser Punkt überrascht Regelungstechniker. Ein Gelenk mit zwei Encodern misst den Winkel sowohl auf der Motor- als auch auf der Abtriebsseite. Diese Messung ist äußerst leistungsfähig: Sie erfasst Getriebetorsion und verlorene Bewegung und kann beides kompensieren. Eine Verformung außerhalb der eigenen Messgrenze kann sie jedoch nicht erfassen. Befindet sich der Abtriebsencoder am Flansch und ist der Arm außerhalb des Lagers angeschraubt, bleibt die Neigung zwischen Flansch und Arm für den Regelkreis unsichtbar – es sei denn, der Encoder ist gezielt auf der Armseite über dem Lager angeordnet, wie es bei manchen hochgenauen Gelenken der Fall ist. Andernfalls fordert die Steuerung problemlos eine Position an, die die Struktur nicht halten kann, und der Fehler erscheint als nicht modellierte Störung.

Eine ausführlichere Betrachtung dazu, was ein Encoderpaar erfassen kann und was nicht, finden Sie unterdem Fehlerbudget eines Robotergelenks unter Last. Der Neigungsanteil gehört in dieses Budget und ist bei distalen Gelenken üblicherweise der größte Einzelposten.

Ein nachgiebiges Glied der Steifigkeitskette ist außerdem fast immer die Schraubverbindung. Ein mit acht M5-Schrauben bei 8 N·m befestigter Flansch bildet eine Klemmverbindung, deren Steifigkeit von der Kontaktfläche, der Vorspannung der Schrauben und der Ebenheit der Flächen bei der Bearbeitung abhängt. Geht die Vorspannung verloren – durch Setzen, Temperaturwechsel oder eine nicht gehärtete Unterlegscheibe –, sinkt die Steifigkeit des Gelenks lange bevor sich etwas sichtbar löst. Das Lager ist in Ordnung. Das Getriebe ist in Ordnung. Die Schnittstelle dazwischen gibt nach.

Der 10/3-Exponent: Wie Momentbelastung die Lebensdauer verkürzt

Momentbelastung biegt nicht nur die Struktur, sondern verkürzt auch die Lagerlebensdauer auf eine Weise, die leicht unterschätzt wird. Die standardmäßige Lebensdauerformel für Wälzlager lautet:

L₁₀ = (C / P)^p × 10⁶ Umdrehungen

Dabei ist C die dynamische Tragzahl, P die äquivalente Belastung und p = 3 für Kugellager beziehungsweise 10/3 für Rollenlager. Hier liegt das Problem: im Exponenten. Da P die durch das Moment erzeugte Reaktionskraft enthält, verkürzt eine mäßige Überlastung die Lebensdauer überproportional:

Wird das Moment um 20 % unterschätzt – etwa wegen eines etwas längeren Fußes, eines etwas stärkeren Landeimpulses oder eines etwas schwereren Werkzeugs –, halbiert sich die nominelle Lagerlebensdauer. Bei einer Unterschätzung um 50 % sinkt sie auf ein Viertel. Eine allmähliche Verschlechterung gibt es hier nicht: Das Moment muss nur geringfügig falsch eingeschätzt werden, damit das Ergebnis deutlich danebenliegt.

Daraus folgen zwei praktische Konsequenzen. Erstens sollte für die Lagerauslegung der ungünstigste glaubhafte Fall und nicht der normale Gangzyklus angesetzt werden. Landestöße, das Abfangen eines Stolperns und eine Person, die sich auf die Maschine stützt, müssen in den Wert einfließen. Zweitens muss der statische Sicherheitsfaktor separat von der Lebensdauer geprüft werden. Die statische Tragfähigkeit bestimmt die bleibende Verformung unter Stoßbelastung. Ein Gelenk kann eine Million Gehzyklen überstehen und trotzdem durch einen einzigen Sturz beschädigt werden.

Lebensdauer- und Drehmomentberechnungen beantworten unterschiedliche Fragen und sollten nicht dieselben Eingangswerte verwenden. Bei der Drehmomentauslegung lautet die Frage: „Kann das Getriebe dieses Drehmoment übertragen?“ Bei der Lagerauslegung lautet sie: „Wie lange hält die Struktur, während die Last versucht, sie zu biegen?“ Wer beides vermischt, erhält ein korrekt übersetztes, aber strukturell unterdimensioniertes Gelenk.

Vorspannung, Temperatur und die schleichende Veränderung

Die Momentsteifigkeit ist keine Konstante. Sie verändert sich mit der Temperatur, und diese Veränderung ist systematisch statt zufällig.

Ein Lagerring aus Stahl in einem Aluminiumgehäuse bringt konstruktionsbedingt unterschiedliche Wärmeausdehnungen mit sich. Aluminium dehnt sich mit ungefähr 23 × 10⁻⁶ pro Kelvin aus, Lagerstahl mit etwa 11,5 × 10⁻⁶. Bei einem 100 mm großen Gehäuse und einem Temperaturanstieg um 40 K beträgt die Differenz:

(23 − 11,5) × 10⁻⁶ × 40 × 0,1 m ≈ 46 µm

46 Mikrometer sind größer als das Vorspiel der meisten Präzisionslagersätze. Erwärmt sich das Gelenk, weitet sich das Gehäuse vom Ring weg, die Vorspannung sinkt, die Steifigkeit nimmt ab und die Auslenkung unter Moment steigt – und zwar genau dann, wenn das Gelenk am stärksten arbeitet und die meiste Wärme abgibt. Beim Abkühlen kehrt die Vorspannung zurück, manchmal sogar mit einem Überschuss, wenn das Gehäuse zu stark eingespannt war.

Deshalb darf die Vorspannung nicht als einzelner Montagewert festgelegt und dann vergessen werden. Sie muss als Bereich vorgegeben werden, der über die Betriebstemperatur des Gelenks hinweg eingehalten wird. Gehäusewerkstoff, Schraubenbild und Lagerklasse bestimmen diesen Bereich gemeinsam. Das erklärt auch, warum ein Gelenk, das auf dem kalten Prüfstand hervorragende Werte aufweist, sich nach zwanzig Minuten Gehen schwammig anfühlen kann.

Dieselbe Logik erklärt eine häufige Rückmeldung aus dem Einsatz: Ein Gelenk ist im Neuzustand steif und präzise, fühlt sich aber nach einigen hundert Betriebsstunden merklich weicher an. Im üblichen Sinne ist nichts verschlissen. Die Vorspannung hat nachgelassen, die Schraubverbindung hat sich gesetzt und die Steifigkeit hat an jedem Glied der Kette um einige Prozent abgenommen. Das Getriebe weist weiterhin kein Flankenspiel auf. Die Struktur ist jedoch nicht mehr so rechtwinklig wie zuvor.

Eine Prüfung in sechs Schritten vor der Freigabe der Zeichnung

Die gesamte Argumentation lässt sich zu einem kurzen Verfahren zusammenfassen, das vor dem Einfrieren der Gelenkkonstruktion durchgeführt werden kann und weniger als eine Stunde kostet.

1. Berechnen Sie das Moment an jedem Gelenk für den ungünstigsten glaubhaften Fall. Für den Arm: Nutzlast mal Hebelarm; für das Bein: Bodenreaktionskraft mal Versatz des Druckmittelpunkts; den Kollisionsfall hinzurechnen. Verwenden Sie nicht den normalen Gangzyklus.
2. Berechnen Sie die Lagerreaktion. F = M / s für den in der Konstruktion vorgesehenen Lagerabstand. Übersteigt der Wert die dynamische Tragzahl des Lagers deutlich, legen Sie die Lager nicht aus, sondern raten.
3. Stellen Sie sicher, dass das Getriebe kein Moment abbekommt. Bei einem Komponentensatz ist das zulässige Moment am Abtriebsflansch praktisch null – der Katalog weist darauf hin, dass der Abtrieb extern abgestützt werden muss. Wird das Moment in Ihrer Konstruktion über die Flexspline geleitet, halten Sie an und zeichnen Sie die Konstruktion neu.
4. Prüfen Sie die Steifigkeitskette und nicht nur das Lager. Lagerneigung, Gehäuseverformung, Flanschbiegung und Nachgiebigkeit der Schraubverbindung in Reihe addieren. Das weichste Glied bestimmt den Gesamtwert, und das ist meist nicht das Lager.
5. Vergleichen Sie die Durchbiegung mit dem Genauigkeitsziel. θ = M / K, anschließend δ = θ × L am Werkzeug oder Fuß. Macht die Durchbiegung einen großen Teil des Genauigkeitsbudgets aus, ist das Gelenk unter Last nicht genau – unabhängig davon, was der Wiederholgenauigkeitswert angibt.
6. Legen Sie die Vorspannung für den Temperaturbereich fest und prüfen Sie die statische Sicherheit separat. Für die Lebensdauer gilt der Exponent 10/3; bei Stoßbelastungen zählt die statische Tragzahl. Für beide Berechnungen wird das Moment benötigt, und keine davon kann es der Drehmomentkurve entnehmen.

Ein Gelenk, das alle sechs Prüfungen besteht, ist nicht zwangsläufig ein gutes Gelenk. Überspringt es jedoch den ersten Schritt, steht sein Ausfall bereits fest – offen ist nur noch der Zeitpunkt.

Was das für die Auswahl eines Gelenks bedeutet

Die praktische Lehre für alle, die ein Gelenkmodul spezifizieren, lautet: Die Abtriebsschnittstelle ist eine strukturelle Spezifikation und kein Montagedetail. Durchmesser des Abtriebslagers, Abstand zwischen seinen Lagerreihen, Ebenheit der Gehäusefläche und Vorspannungsklasse bestimmen gemeinsam, wie viel von der Maschinengenauigkeit unter Last erhalten bleibt. Die Drehmomentdichte sagt Ihnen, was das Gelenk heben kann. Die Momentsteifigkeit sagt Ihnen, ob es das Gehobene halten kann.

Auf dieser Überlegung beruht die Architektur am Abtriebsende, die beiden Leichtbau-Gelenkmodulen von Ti5ROBOT zum Einsatz kommt: Ein Abtriebslager mit großem Durchmesser nimmt das Moment auf, das Getriebe überträgt ausschließlich Drehmoment, und das Gehäuse wird in einer einzigen Aufspannung bearbeitet. So liegen Lagersitz und Getriebemontagefläche auf derselben Achse, statt nachträglich zueinander ausgerichtet zu werden. Dasselbe Prinzip findet sich auch in der Produktreihe humanoider Aktoren, bei der Sprung- und Kniegelenke die größten Momente der Maschine aufnehmen müssen und am wenigsten Bauraum für eine Vergrößerung haben.

Damit hängen auch zwei Effekte zusammen, die oft getrennt betrachtet werden. Der Beitrag des Getriebes selbst zur Genauigkeit wird durch den Wellengenerator begrenzt, wie unterden Einflussfaktoren auf Präzision und Lebensdauer von Wellgetrieben erläutert. Die dynamischen Nachteile, die durch Masse am Ende eines Arms entstehen, behandelt der Trägheitszuschlag durch reflektierte Trägheit. Das Moment gehört in dieselbe Betrachtung, denn es entscheidet, ob die beiden anderen Effekte überhaupt relevant werden können.

Zeichnen Sie den zweiten Lastpfad ein. Es ist eine einzelne Linie in der Schnittansicht und der Unterschied zwischen einem korrekt spezifizierten Gelenk und einem Gelenk, das nur für die Last ausgelegt wurde, an die jemand gedacht hat.